Nekustīgo punktu teorēmu lietojumi otrās kārtas robežproblēmu atrisinājumu eksistences pētīšanā

Abstract

Darbā aplūkoti otrās kārtas nelineārie diferenciālvienādojumi ar dažādiem robežnosacījumiem (daudzpunktu, periodiskie, integrālie robežnosacījumi) ar mērķi dabūt rezultātus par robežproblēmas atrisinājuma eksistenci (vismaz viens, viens vienīgs, simetriskais intervālā [0;1], vismaz m pozitīvo atrisinājumi). Lai iegūtu rezultātus, robežproblēma tika pārrakstīta kā ekvivalents integrālvienādojums, konstruējot atbilstošās robežproblēmas Grīna funkciju. Definējot operatoru ar iegūto integrālvienādojumu piemērotā funkciju telpā, tika pierādīta robežproblēmas atrisinājuma eksistence – lietota viena no nekustīgā punkta teorēmām, proti, Banaha nekustīgā punkta teorēma, Šaudera nekustīgā punkta teorēma, Lerē–Šaudera princips, Lerē–Šaudera nelineārā alternatīva, Guo–Krasnoseļska nekustīgā punkta teorēma. Lai parādītu iegūto rezultātu pielietojamību, aplūkoti piemēri ar atrisinājumu grafikiem.

The intent of this thesis is to determine conditions under which second-order nonlinear differential equation together with one of various boundary conditions (multipoint, periodic, integral boundary conditions) has a solution (at least one, only one, symmetric on [0;1], at least m positive solutions). To obtain the results we rewrite the boundary value problem as an equivalent integral equation by constructing the corresponding Green's function. Using the integral equation we define operator in suitable space of functions and, to prove existence of a solution, use one of the fixed point theorems, i.e. Banach fixed point theorem, Schauder fixed point theorem, Leray–Schauder principle, Lerey–Schauder nonlinear alternative, Guo–Krasnosel'skii fixed point theorem. To show the applicability of the obtained results, examples with graphics of solutions are considered.