Iracionālo skaitļu decimālo pierakstu ģenerēšana un statistiskā analīze

Abstract

Pētot iracionālo skaitļu, kā π vai citu matemātikas konstantu, decimālo pierakstu uzvedību, ir iespējams novērot to ciparu virkņu šķietami nejaušo uzvedību. Šī maģistra darbā mērķis bija šo populāro hipotēzi pārbaudīt, izmantojot iracionālo skaitļu decimālo pierakstu ciparu virkņu analīzi vismaz viena miljarda ciparu garumā. Darba teorētiskajā daļā aprakstītas ciparu virkņu pseido-nejaušības testēšanas metodes, kā arī apskatīti algoritmi konstantu ciparu ģenerēšanai. Darba praktiskajā daļā tiek veikta konstantu ciparu virkņu pseido-nejaušības testēšana, kā arī ģenerēšanas algoritmu programmēšana un izmēģināšana darbībā. Konstantēm π un √2 ir izveidotas ģenerēšanas programmas balstoties uz pieejamām formulām to aprēķināšanai, kā arī aprakstīts darba process un iegūtie rezultāti, kuri ir salīdzināti ar pārbaudītiem konstantu fragmentiem, pārliecinoties par to pareizību. Matemātisko konstanšu - π, Eilera skaitļa (e), Eilera (Euler–Mascheroni) konstantes (γ), kvadrātsaknes no 2 (√2), kvadrātsaknes no 3 (√3), katalāna, zelta griezuma, lemniscate, log(2), log(3), log(10) un zeta(3) - ģenerētajiem pierakstiem tiek veikta statistiskā analīze, lai noskaidrotu, vai to īpašības atbilst nejaušu ciparu virkņu īpašībām. Statistiskajā analīzē tiek pielietots iterētā logaritma likums, kā viena no metodēm ciparu virkņu pseido-nejaušības novērtēšanai. Pētījums atkārto un turpina tālāk citu autoru mēģinājumus apstiprināt vai noraidīt minēto populāro hipotēzi, ka minēto konstanšu decimālie pieraksti uzvedas kā nejaušas ciparu virknes. Darba rezultātā secināts, ka vismaz pirmo miljardu ciparu apjomā nevienam no aplūkotajiem konstanšu decimālajiem pierakstiem iterēto logaritmu likums neizpildās, tātad, iespējams, populārā hipotēze būtu noraidāma.

Studying the behavior of irrational numbers, such as π or other mathematical constants, in their decimal representations allows us to observe the seemingly random behavior of their digit sequences. The goal of this master's thesis was to test this popular hypothesis by analyzing the digit sequences of irrational numbers' decimal representations, each at least a billion digits long. The theoretical part of the thesis describes methods for testing the pseudo-randomness of digit sequences, as well as looks into algorithms for generating constant digits. In the practical part, testing of the pseudo-randomness of constant digit sequences is carried out, along with programming and testing of generation algorithms in action. Programs for generating constants such as π and √2 are based on available formulas for their calculation. The process of the thesis and the obtained results are described, which are compared with verified constant fragments to ensure their accuracy. Statistical analysis is performed on the decimal representations of mathematical constants - π, Euler's number (e), Euler's constant (γ), square root of 2 (√2), square root of 3 (√3), Catalan's constant, golden ratio, lemniscate, log(2), log(3), log(10), and zeta(3) - to determine whether their properties correspond to those of random digit sequences. The statistical analysis applies the iterated logarithm law as one of the methods for evaluating the pseudo-randomness of digit sequences. The study repeats and further extends attempts by other authors to confirm or reject the popular hypothesis that the decimal representations of these constants behave like random digit sequences. As a result of the thesis, it is concluded that at least in the first billion digits, none of the examined decimal representations of constants satisfy the iterated logarithm law, indicating that the popular hypothesis may be rejected.